Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, marcas en
bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número
al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación
mas practico.
En diferentes partes del mundo y en distintas épocas de llego a la misma
solución, cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta
que los representa a todos ellos. Este número es la base. Se sigue añadiendo
unidades hasta que se vuelven a alcanzar por segunda vez el número anterior y
se añade otra marca de la segunda clase. Cuando se alcanza un número
determinado. De estas unidades de segundo orden, as decenas en caso de base 10,
se añade una de tercer orden y así sucesivamente. La base que más se ha
utilizado a lo largo de la historia es 10 según todas las apariencias por ser
ese el número de dedos con los que contamos. Hay alguna excepción notable como
son las numeraciones babilónicas. Que usaba 10 y 60 como bases y la numeración
maya que usaba 20 y 5 aunque con alguna irregularidad. Desde hace 5000 años la
gran mayoría de las civilizaciones han contado en unidades, decenas, centenas,
números ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance
científico por no disponer de un sistema eficaz que permitiese el cálculo.
Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los números
enteros, aunque en algunos pueden confundirse unos números con otros, pero
muchos de ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros
requieren tal cantidad de símbolos que los hace poco prácticos.
Sistemas de numeración no posicionales
Estos son los más antiguos, se usaban por ejemplo los dedos de la mano
para representar la cantidad cinco y después se hablaba de cuántas manos se
tenía. También se sabe que se usaba cuerdas con nudos para representar
cantidad. Tiene mucho que ver con la coordinabilidad entre conjuntos. Entre
ellos están los sistemas del antiguo Egipto, el sistema de numeración romana, y
los usados en Mesoamericana por mayas, aztecas y otros pueblos.
Al igual que otras civilizaciones mesoamericanas, los mayas utilizaban
un sistema de numeración de raíz mixta de base 20. También los mayas
preclásicos desarrollaron independientemente el concepto de cero alrededor del
año 36 a. C.1 Este es el primer uso documentado del cero en América, aunque con
algunas peculiaridades que le privaron de posibilidad operatoria.2 Las
inscripciones, los muestran en ocasiones trabajando con sumas de hasta cientos
de millones y fechas tan extensas que tomaba varias líneas el poder
representarlas.
Sistemas de numeración posicionales
El número de símbolos permitidos en un sistema de numeración posicional
se conoce como base del sistema de numeración. Si un sistema de numeración
posicional tiene base b significa que disponemos de b símbolos
diferentes para escribir los números, y que b unidades forman una unidad
de orden superior.
Aplicación y funcionalidad de los
sistemas de numeración
Un sistema de numeración
puede considerarse como un conjunto de símbolos y reglas que se usan para
representar los números. Dicho sistema sólo puede usar los símbolos de que
dispone para representar los números. Esto quiere decir que, se pueden usar
desde dos hasta infinitos símbolos para representar las cantidades. A lo largo
de la historia el sistema más usado ha sido el decimal, aunque muchos de las
culturas y pueblos antiguos desarrollaron otro tipo de sistemas.
Estos sistemas podían
básicamente ser de dos tipos, posicionales o no posicionales. Un sistema
posicional es un sistema en el cuál un símbolo o cifra no tendrá un único valor numérico, sino que según su posición dentro del número final éste
valor cambiará. Por ejemplo, nuestro sistema decimal o el sistema binario son
tipos de sistemas posicionales. Los sistemas no posicionales con aquellos en
los cuáles los símbolos nunca cambian su valor independientemente de su
posición. Por ejemplo, en los números romanos se colocan los símbolos en
posiciones diferentes para indicar sumas o restas, pero el valor o cantidad que
representa cada símbolo no cambia.
En los sistemas
posicionales, que son materia de estudio en el presente trabajo,
se utiliza el concepto de base; se llama base a aquel número que indica el máximo de
símbolos diferentes que podemos usar en ese sistema para representar los
números. Así por ejemplo, en nuestro sistema decimal sólo disponemos de 10
dígitos, que van del 0 al 9.
Para indicar en que base
está un número, esto es, para saber qué sistema se utiliza; se coloca un
subíndice al número indicando la base y por tanto el sistema del mismo.
Evidentemente el único sistema en el que no se utiliza subíndice es el decimal.
Sistema Binario
En este sistema, sólo
podemos usar los dígitos 1 y 0.Si queremos expresar la cantidad de 2 debemos
escribir el número 10.Veamos algunos ejemplos:
0=0000(2)
1=0001(2)
2=0010(2)
3=0011(2)
4=0100(2)
5=0101(2)
Ejercicios de los sistemas de numeración:
0001110
10011010100010 00000 01011
10011 00101
10011
000000
10011
1000000010
Reseña histórica de la lógica matemática
Es una parte de la lógica y las matemáticas que consisten en el estudio
matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las
matemáticas. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación y la lógica filosófica.
La lógica matemática estudia los sistemas
formales en
relación con el modo en el que codifican o definen nociones
intuitivas de objetos matemáticos como conjuntos, números,demostraciones y algoritmos,
utilizando un lenguaje
formal.
La lógica matemática suele dividirse en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La
investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio
de los fundamentos de las matemáticas. Actualmente se
usan indiferentemente como sinónimos las expresiones: lógica simbólica (o
logística), lógica matemática, lógica teorética y lógica formal.1
La lógica matemática no es la «lógica de las matemáticas» sino la
«matemática de la lógica». Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser
modeladas y estudiadas matemáticamente.
Siglo XIX
Previamente
ya se hicieron algunos intentos de tratar las operaciones lógicas formales de
una manera simbólica por parte de algunos filósofos matemáticos como Leibniz y Lambert, pero su labor permaneció desconocida
y aislada.
A
partir de la segunda mitad del siglo XIX, la lógica sería revolucionada
profundamente. En 1847, George Boole publicó un breve tratado titulado El análisis
matemático de la lógica,
y en 1854 otro más importante titulado Las leyes
del pensamiento. La idea
de Boole fue construir a la lógica como un cálculo en el que los valores de verdad se representan mediante el 0
(falsedad) y el 1 (verdad), y a los que se les aplican operaciones
matemáticas como
la suma y la multiplicación.
Al
mismo tiempo, Augustus De Morgan publica en 1847 su obra Lógica
formal, donde introduce
las leyes
de De Morgan e intenta generalizar la noción de
silogismo. Otro importante contribuyente inglés fue John Venn, quien en 1881 publicó su libro Lógica
Simbólica, donde
introdujo los famosos diagramas de Venn.
Sin
embargo, la verdadera revolución de la lógica vino de la mano de Gottlob
Frege, quien frecuentemente es considerado como el lógico más
importante de la historia, junto con Aristóteles. En su trabajo de 1879, la Conceptografía, Frege ofrece por primera vez un
sistema completo de lógica
de predicados y cálculo
proposicional.
También desarrolla la idea de un lenguaje formal y define la noción de prueba. Estas ideas constituyeron una base
teórica fundamental para el desarrollo de las computadoras y las ciencias
de la computación,
entre otras cosas. Pese a esto, los contemporáneos de Frege pasaron por alto
sus contribuciones, probablemente a causa de la complicada notación que
desarrolló el autor. En 1893 y 1903, Frege publica en dos volúmenes Las leyes
de la aritmética, donde
intenta deducir toda la matemática a partir de la lógica, en lo que se
conoce como el proyecto logicista. Su sistema y su aplicación a la teoría
de conjuntos, sin
embargo, contenía una contradicción. Lógica
matemática fue el nombre dado por Giuseppe Peano para esta disciplina. En esencia, es
la lógica de Aristóteles, pero desde el punto de vista de una
nueva notación, más abstracta, tomada del álgebra.
Siglo XX
El
siglo XX sería uno de enormes desarrollos en lógica. A partir del siglo XX, la
lógica pasó a estudiarse por su interés intrínseco, y no sólo por sus virtudes
como propedéutica, por lo que estudió a niveles mucho
más abstractos.
En
1910, Bertrand Russell y Alfred
North Whitehead publican Principia mathematica, un trabajo monumental en el que
logran gran parte de la matemática a partir de la lógica, evitando caer en las
paradojas en las que cayó Frege. Los autores reconocen el mérito de Frege en el
prefacio. En contraste con el trabajo de Frege, Principia
mathematica tuvo
un éxito rotundo, y llegó a considerarse uno de los trabajos de no ficción más
importantes e influyentes de todo el siglo XX. Principia mathematica utiliza
una notación inspirada en la de Giuseppe Peano, parte de la cual todavía es muy
utilizada hoy en día.
En
1912 C.
I. Lewis publica Conditionals
and the Algebra of Logic,
justo después de los Principia
Mathematica de
Russell y Whitehead. En 1918 publica A Survey of
Symbolic Logic en
donde propone un nuevo condicional más adecuado para recoger el significado de
la expresión "si... entonces" del lenguaje natural. Lewis lo llama implicación
estricta. El nuevo
condicional requiere, para ser verdadero, una relación más fuerte entre el
antecedente y el consecuente que el condicional clásico.
En
1920 David Hilbert propuso de forma explícita un proyecto
de investigación que acabó siendo conocido como programa
de Hilbert. Quería
que la matemática fuese formulada sobre unas bases
sólidas y completamente lógicas.
El
origen de los modelos
abstractos de computación se encuadra en los años, en el trabajo
de los lógicos Alonzo Church,Kurt Gödel, Stephen Kleene, Emil Leon Post, Haskell
Curry y Alan Turing. Estos trabajos iniciales han tenido
una profunda influencia, tanto en el desarrollo teórico como en abundantes
aspectos de la práctica de la computación; previendo incluso la existencia de
ordenadores de propósito general, la posibilidad de interpretar programas, la
dualidad entre software y hardware, y la representación de lenguajes por
estructuras formales basados en reglas de producción.
La deducción
natural fue
introducida por Gerhard Gentzen en su trabajo Investigaciones
sobre la inferencia lógica,
publicado en 1934-1935.
En
los años 40 Alfred Tarski comenzó a desarrollar junto a sus
discípulos el álgebra
relacional, en la que
pueden expresarse tanto la teoría
axiomática de conjuntos como la aritmética de Peano. También desarrolló junto a sus
discípulos las álgebras
cilíndricas, que son
a la lógica
de primer orden lo que el álgebra
booleana a
la lógica
proposicional. En
1941 publicó en inglés uno de los manuales de lógica más acreditados, Introduction
to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences.
Noam Chomsky en 1956 propone una clasificación
jerárquica de distintos tipos de gramáticas
formales que
generan lenguajes formales llamada jerarquía
de Chomsky.
Si
bien a la luz de los sistemas contemporáneos la lógica
aristotélica puede parecer equivocada e incompleta, Jan
Lukasiewicz mostró que, a pesar de sus grandes
dificultades, la lógica aristotélica era consistente, si bien había que
interpretarse como lógica
de clases, lo cual no
es pequeña modificación. Por ello la silogística prácticamente no tiene uso
actualmente.
Además
de la lógica proposicional y la lógica de predicados, el siglo XX vio el
desarrollo de muchos otros sistemas lógicos; entre los que destacan las muchas lógicas modales
Conectivos
para asociar proposiciones:
Tabla de conectivos
lógicos:
Nombre del.....................Nombre del tipo
conectivo........Símbolo......de proposición
......Y..................^..........Conjunción
......O...................v...........Disyunción
..Si…entonces......→...........Implicación o condicional
..Si y sólo si.........↔...........Bicondicional
Nombre del.....................Nombre del tipo
conectivo........Símbolo......de proposición
......Y..................^..........Conjunción
......O...................v...........Disyunción
..Si…entonces......→...........Implicación o condicional
..Si y sólo si.........↔...........Bicondicional
En
lógica, las palabras que se usan para relacionar proposiciones simples y formar
compuestas, se le conocen como conectivos lógicos.
Entonces
si la proposición es:
P:
si estudio mucho entonces obtendré buenas calificaciones y me darán un premio.
Primero
se separan en proposiciones simples:
S:
Estudio mucho.
T:
obtendré buenas calificaciones
R:
medaran un premio
Y
se lee simbólicamente de las siguientes manera la proposición compuesta P:
P:
si s – t Y r
Entonces
ya sabemos que los conectivos lógicos se emplean para asociar proposiciones
simple en proposiciones compuestas.
Conectivos
y reglas
El
primer conectivo es el de negación y se aplica para modificar proposiciones de
cualquier tipo y se representa con el símbolo, que significa no. Para negar una
proposición se coloca el símbolo antes de ella.
Ejemplo:
Q:
el dia esta nublado.
Su
negación quedara asi
Q:
el dia no esta nublado.
Tablas de verdad:
|
P
|
Q
|
P y Q
|
|
V
|
V
|
V
|
|
V
|
F
|
F
|
|
F
|
V
|
F
|
|
F
|
F
|
F
|
|
P
|
Q
|
P
o Q
|
|
V
|
V
|
V
|
|
V
|
V
|
V
|
|
F
|
V
|
V
|
|
F
|
F
|
F
|
|
P
|
Q
|
P=>Q
|
|
V
|
V
|
V
|
|
V
|
F
|
F
|
|
F
|
V
|
V
|
|
F
|
F
|
V
|
|
P
|
Q
|
PóQ
|
|
V
|
V
|
V
|
|
V
|
F
|
F
|
|
F
|
V
|
F
|
|
F
|
F
|
V
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