Temas selectos de matemáticas:
TIPOS Y CARACTERISTICAS DE MATRICES:
Una
matriz fila: está constituida por una sola fila.
La
matriz columna: tiene una sola columna
La
matriz rectangular: tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su
dimensión m x n
Dada
una matriz A, se llama
matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas.
(At)
t = A
(A +
B) t = At + Bt
(α ·A)t = α· At
(A ·
B)t = Bt · At
En una matriz nula:
todos los elementos son ceros.
La
matriz cuadrada: tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los
elementos de la forma aii constituyen
la diagonal principal.
La
diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de
la matriz.
TIPOS DE MATRICES
CUADRADAS:
Matriz
triangular superior: en esta los elementos situados por debajo de la diagonal
principal son ceros.
Una matriz triangular inferior: En esta los
elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
Una
matriz diagonal: Aqui todos los elementos que no están situados en la diagonal
principal son nulos.
Una
matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal
principal son iguales.
Una
matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal
principal son iguales a 1.
Una
matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.
Una
matriz singular no tiene matriz inversa.
Una
matriz, A, es idempotente si:
A2 = A.
Una
matriz, A, es involutiva si:
A2 = I.
Una
matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A =
At.
Una
matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A =
−At.
Una
matriz es ortogonal si verifica que:
A ·
At = I.
SUMA:
Proceso de combinar dos o más matrices en una
matriz equivalente, representado por el símbolo +.
La suma de matrices sólo se puede efectuar entre
matrices con la misma dimensión, es decir, las que tienen el mismo número de
filas y el mismo número de columnas. La matriz resultante tiene las mismas
dimensiones, cada uno de cuyos elementos es la suma aritmética de los elementos
en las posiciones correspondientes en las matrices originales.
EJEMPLO DE SUMA DE MATRICES:
PRODUCTO:
En matemática, la multiplicación o producto de matrices es la operación de composición efectuada entre dos matrices, o bien la multiplicación entre una matriz y un escalar según unas reglas.
Al igual que la multiplicación aritmética, su definición es instrumental, es decir, viene
dada por un algoritmo capaz de efectuarla. El
algoritmo para la multiplicación matricial es diferente del que resuelve la
multiplicación de dos números. La diferencia principal es que la multiplicación
de matrices no cumple con la propiedad de conmutatividad.
EJEMPLO DE PRODUCTO ENTRE MATRICES:
MATRIZ UNITARIA
En matemática, una matriz unitaria es una matriz compleja U, de n por n elementos, que satisface la condición:
U*U = UU* = In
Donde In es
la matriz identidad y U* es
el traspuesto conjugado (también
llamado el hermitiano adjunto o la hermítica) de U. Esta condición implica que
una matriz U es unitaria si tiene inversa igual a su traspuesta conjugada U*.
Una matriz unitaria en la que todas las entradas son
reales es una matriz ortogonal, y por tanto preserva el producto escalar de dos vectores reales.
Así que una matriz unitaria U satisface
Para todos los vectores complejos x e y',
donde <.,.> representa al producto escalar en Cn. Si A es una matriz n por n entonces
las siguientes condiciones son equivalentes:
1.
A es
unitaria
2.
A* es
unitaria
Se desprende de la propiedad de
isometría que todos los autovalores de una matriz unitaria son números
complejos de valor absoluto 1. Esto también se cumple para su determinante.
Todas las matrices unitarias son normales, y el teorema espectral se aplica a a ellas. De esta forma, toda matriz unitaria U tiene una descomposición de la forma
U =
Donde V es unitaria, y ∑ es
diagonal y unitaria.
Una matriz unitaria es especial si su determinante es 1.
MATRIZ
INVERSA:
Dada una matriz A,
¿Podremos encontrar otra matriz B tal que A·B=B·A=I?
Esta matriz B existe aunque no siempre, de existir se le llama matriz inversa de A y se nota A-1. Para que exista la inversa de A, ésta tiene que ser cuadrada pues de lo contrario no se podría hacer el producto por la izquierda y por la derecha, luego cuando hablamos de matrices invertibles estamos hablando de matrices cuadradas.
Esta matriz B existe aunque no siempre, de existir se le llama matriz inversa de A y se nota A-1. Para que exista la inversa de A, ésta tiene que ser cuadrada pues de lo contrario no se podría hacer el producto por la izquierda y por la derecha, luego cuando hablamos de matrices invertibles estamos hablando de matrices cuadradas.
Condición necesaria y suficiente para
que una matriz sea invertible es que no sea singular, es decir, que su
determinante sea no nulo |A| ≠ 0
