Temas selectos de matematicas: febrero 2014

LA RELACION DE ORDEN DE LOS NUMEROS REALES

Definición:

Sea $A$ un conjunto dado no vacío y $R$ una relación binaria definida en $A$ , entonces se dice que $R$ es una relación de orden si cumple las siguientes propiedades:

Reflexividad: Todo elemento de $A$ está relacionado consigo mismo. Es decir, $\forall x\in A,\;xRx$ .
Antisimetria: Si dos elementos de $A$ se relacionan entre sí, entonces ellos son iguales. Es decir, $\forall x,y\in A,\;xRy,\;yRx\;\Rightarrow \;x=y$
Transitividad: Si un elemento de $A$ está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir, $\forall x,y,z\in A,\;xRy,yRz\Rightarrow xRz$

Una relación de orden $R$ sobre un conjunto $A$ puede denotarse con el par ordenado $(A,\leq )$ .

Relación de orden total

Sea $A$ un conjunto dado, $\leq$ es una relación de orden total si y solo si todos los elementos de $A$ se relacionan entre sí, es decir,

$\forall x,y\in A,(x\leq y)\vee (y\leq x)$ .

Ejemplo es totalmente ordenado. En efecto, es:
- Reflexivo: $\forall n\in {\mathbb {N}},$ entonces $n\leq n$ (porque por definición, $n=n\,$ )
- Antisimétrico: $\forall n_{1},n_{2}\in {\mathbb {N}},$ si $\;\;n_{1}\leq n_{2}\;\;$ y $\;\;n_{2}\leq n_{1},\;\;$ entonces $n_{1}\leq n_{2}\leq n_{1}$ $\Rightarrow n_{1}=n_{2}$
- Transitivo: $\forall n_{1},n_{2},n_{3}\in {\mathbb {N}},$ si $\;\;n_{1}\leq n_{2}\;\;$ y $\;\;n_{2}\leq n_{3},\;\;$ entonces $n_{1}\leq n_{2}\leq n_{3}\Rightarrow n_{1}\leq n_{3}$
- Orden total, pues

Sean m y n dos números naturales, entonces m ≤ n ó n ≤ m .

Contraejenplo: (ℤ₊, | ) no es totalmente ordenado con la relación (a | b) , " a divide b"; pues

5 no divide a 12, ya que no existe h entero positivo tal que 12 = 5h. En todo caso , para cualquier h ∈ ℤ₊, 12 ≠ 5h.

Relación de orden parcial

Sea $A$ un conjunto dado, $\leq$ es una relación de orden parcial si y solo si al menos un par de elementos de $A$ se relacionan entre sí, es decir,

$\exists x,y\in A,$ tal que $(x\leq y)\vee (y\leq x)$ .

Ejemplo. Sea el conjunto $X=\{1,2,3\}$ y el conjunto potencial de $X$ , definido por:

${\mathcal {P}}(X)=\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$

Entonces $({\mathcal {P}}(X),\subseteq )$ es parcialmente ordenado, pues sean

$A=\{1\},B=\{1,2\},C=\{3\}\in {\mathcal {P}}(X),$

$A\subseteq B,$ pero $(A\nsubseteq C)\wedge (C\nsubseteq A).$

Nótese que las relaciones de orden total son un caso particular de las relaciones de orden parcial.

Relación de orden densa o bien ordenada

Una relación de orden parcial ≤ sobre un conjunto X se dice densa (o densa-en -sí-misma) si, para todo x e y en X tales que x < y (x ≤ y y x ≠ y), existe otro z en X tal que x < z < y.

Ejemplo 1: Los números racionales con la ordenación habitual son un conjunto densamente ordenado, al igual que los números reales. Si q₁ < q₂ entonces tenemos que q₃ := (q₁+q₂)/2 satisface que: q₁ < q₃ < q₂.